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Karin Ernst

Die Wiederentdeckung der Trigonometrie

Veröffentlicht in:
Reflexionen und Erfahrungen zum "Spiegel(n)". Dokumentation der 11. Lernwerkstättentagung in Fuldatal 1998. Hrsg. v. Karin Ernst. Hanau (z. Zt. im Druck)
© Karin Ernst 2001. All Rights reserved.

Anfangsfragen
Frühere pragmatische Lösungen
Frage 1: Wie breit müssen die Spiegel sein, die in eine vorhandene Kaleidoskop-Röhre passen?
Frage 2: Perspektive und Unendlichkeit

Den Workshop zum Thema "Spiegel(n)" beim 11. Lernwerkstättentreffen 1998 habe ich nicht mit einer neuen, sondern zwei alten Fragen begonnen, die mich immer mal wieder beschäftigt haben, wenn ich selbst Workshops zum Thema "Kaleidoskop" oder "Spiegel" angeleitet habe, nämlich folgende

Anfangsfragen:

1. Wie breit müssen die einzelnen Spiegelscheiben sein, damit sie in eine vorhandene Röhre hineinpassen?

Konkreter: Es kommt immer wieder vor, dass sich Pappröhren einer bestimmten Größe, z. B die Kerne von Küchenpapierrollen, ansammeln, aus denen sich wunderbare Kaleidoskope bauen lassen. Dafür müssen Spiegel passender Größe beim Glaser - er schneidet im Vergleich zu uns exakter und ohne Abfall - bestellt werden. Die Länge lässt sich leicht abmessen - aber die Breite? Schließlich sollen drei Spiegel zu einer dreieckigen Säule zusammengebaut werden und einigermaßen exakt in die Röhre hineinpassen...

2. Lässt sich vorhersagen, wie groß die "Unendlichkeit" der Spiegelbilder in Bezug auf die Länge der Spiegelröhren ist?

Konkreter: Wir haben beobachtet, dass Kaleidoskope mit drei Spiegeln, die als gleichseitiges Dreieck angeordnet sind, das innere Bild rundherum "unendlich" weiterspiegeln. Je länger das Kaleidoskop, desto mehr Spiegelungen erscheinen, und die Bilder werden dabei recht klein. Bei einem kurzen Kaleidoskop scheint man quasi gleich wieder nach draußen zu schauen; die Seitenflächen, die ja die Spiegelung erzeugen, nimmt man kaum wahr, dafür das innere Dreieck sehr groß. Gibt es einen mathematischen Zusammenhang zwischen der Länge der Spiegel und der Anzahl der Widerspiegelungen?

Frühere pragmatische Lösungen:

Bisher habe ich, bzw. haben die experimentierenden Workshop-TeilnehmerInnen, diese Fragen pragmatisch gelöst.

Um die Breite der Spiegel festzustellen, wird auf die vorhandene Röhre etwa dort, wo man nach Augenmaß und im Vergleich mit fertigen Kaleidoskopen eine Spiegelscheibe vermutet, ein Lineal angelegt, die gemessene Länge wird um mindestens einen halben Zentimeter verkleinert (wegen der Mess- und Schätzfehler!) und entsprechende Spiegel werden bestellt. Sind sie dann doch zu breit, wird nach einer größeren Röhre gesucht, sind sie zu schmal, wird die fertige Spiegelröhre mit Papier oder anderem umwickelt, damit sie in der Pappröhre nicht wackelt - und fertig.

Oder eine andere, schon etwas mathematischere Lösung: Mit dem Lineal wird nach Augenmaß der Durchmesser der Röhre ermittelt. Mit dem halben Wert als Radius wird ein Kreis gezeichnet, durch sechsmaliges Abtragen des Radius auf dem Kreisumfang werden sechs voneinander gleich weit entfernte Punkte bestimmt. Wenn man jeden zweiten davon miteinander verbindet, erhält man das gleichseitige Dreieck, das genau in diesen Kreis hineinpasst. Die Seitenlänge kann man abmessen, eine Toleranz für die Glasdicke abziehen und mit diesem Wert zum Glaser gehen. Meistens verschätzt man sich bei der Toleranz, und die Konstruktion haut nicht so ganz hin.

Das Phänomen der Beziehung zwischen der Spiegellänge und der Weite der "Unendlichkeit" fällt nur auf, wenn man viele unterschiedliche Kaleidoskope mit Muße betrachtet, bzw. wenn man aus sehr kurzen breiten Spiegeln ein vernünftiges Kaleidoskop bauen will. Außer mir kenne ich niemanden, der diese Frage länger als fünf Minuten gestellt hätte. Nachgegangen ist ihr noch niemand. Wer auf diese Frage stößt und nicht weiterkommt, greift meinen Begleitungs-Hinweis, doch einmal durch Kaleidoskope unterschiedlicher Länge zu sehen, schnell auf, stellt fest, dass in einem "richtigen" Kaleidoskop die Spiegel länger und schmaler sind und hütet sich vor weiteren mathematischen Überlegungen.

Die Lernwerkstatt-Tagung war für mich nun der geeignete Ort, diesen Fragen genauer nachzugehen, das Zusammensein in einer Gruppe mit Frank, der zunächst dreidimensionale Bilder im Kaleidoskop erzeugen wollte, dann aber bei der Erfindung der "Wechselobjektive" hängen blieb, mit Ute, die im Klappspiegel fast versank, mit Christian, der stundenlang durch Einwegspiegel-Folie starrte und sich fragte, warum ein Spiegel eigentlich spiegelt, und mit Barbara und Brigitta, die am Kaleidoskop ganz neue Phänomene entdeckten, schuf hierfür das beschwingende Lernklima. In kurzer Zeit entdeckte ich die Grundlagen der Trigonometrie noch einmal neu. Aber der Reihe nach...

Frage 1: Wie breit müssen die Spiegel sein, die in eine vorhandene Kaleidoskop-Röhre passen?

Ich zeichnete zunächst einen Kreis mit 7 cm Durchmesser und in diesen Kreis nach der oben beschriebenen Methode ein gleichseitiges Dreieck. Dass dieses Dreieck eine Seitenlänge von knapp 6 cm hatte, konnte ich am Lineal ablesen. Würde ich das gleiche Ergebnis mit einer noch zu findenden mathematischen Methode erreichen? Diese Methode sollte mir die Konstruktion des Dreiecks ersparen. Allein vom Kreisdurchmesser ausgehend - der weiterhin pi-mal-Daumen abgemessen werden musste und der die einzig konkrete Zahl lieferte - sollte sich die Breite der Spiegelscheiben rechnerisch ermitteln lassen. Zunächst aber zeichnete ich weiter.

Wenn ich den Mittelpunkt des Umkreises um mein Dreieck mit jeder Ecke des Dreiecks verband, erhielt ich im Inneren drei gleichschenklige Dreiecke, deren kürzere Seiten alle gleich lang waren und durch den Radius gebildet wurden.

Anders gesagt: Jedes gleichseitige kleine Dreieck hatte zwei Seiten, deren Länge ich kannte - den Radius - und eine Seite, deren Länge ich suchte - die Spiegelbreite. Außerdem kannte ich aufgrund der Besonderheiten des gleichseitigen Ausgangsdreiecks alle Winkel. Ein gleichseitiges Dreieck hat drei Winkel von je 60°, dieses wurden durch die drei Radien halbiert, also hatten die spitzen Winkel der kleinen Dreiecke je 30°, der stumpfe Winkel in der Mitte 120° ("Die Winkelsumme im Dreieck im immer 180°".) Immerhin etwas...

Nun konnte ich noch vom Kreismittelpunkt auf die unbekannte Seite das Lot fällen und auf diese Weise jedes gleichschenklige Dreieck in zwei gleichgroße rechtwinklige, zueinander symmetrische Dreiecke teilen.

Auch jetzt waren mir noch viele Werte bekannt: Die unbekannte Seite war nun genau in der Mitte geteilt, würde sich also auch wieder verdoppeln lassen. Das rechtwinklige Dreieck hatte immer noch einen spitzen Winkel von 30°, einen rechten Winkel von 90° und einen Winkel am Kreismittelpunkt von 60°, der sich sowohl aus der Winkelsumme im rechtwinkligen Dreieck, wie aus der Teilung des ehemals stumpfen Winkels von 120° ergab.

Angesichts des rechtwinkligen Dreiecks stellte sich die Frage, ob sich nicht "mit Pythagoras" (a² + b² = c²) etwas würde machen lassen. Die Hypothenuse (c) war der mir immer noch bekannte Radius, die gesuchte Seite war eine Kathete (a), die noch verdoppelt werden musste, die andere Kathete (b) war das Lot... Aber wie lang war das? Gab es eine Formel für die Höhe eines solchen Dreiecks? Ich fand keine, und auch sonst wusste niemand Bescheid.

Jemand warf den Begriff "kongruente Dreiecke" in die Diskussion. Das hieß, wie ich mich erinnerte: Bei jedem Dreieck, das dieselben Winkel wie dieses hier hatte, würden die Seiten im selben Verhältnis zueinander stehen, egal wie lang sie wären. Würde man eine Seite in der Länge verdoppeln, würden die anderen Seiten im selben Verhältnis mitziehen, also auch doppelt so lang werden wie vorher. Dieser Hinweis war für mich das fehlende Bindeglied, um mir endlich wieder einfallen zu lassen, welche Erfindung eigentlich hinter der Trigonometrie - der Kunst, Dreiecke zu berechnen - steht.

Geht man nämlich davon aus, dass eine Seite in einem solchen Dreieck den Wert "1" hat (Zentimeter, Kilometer, Millimeter, ...), dann haben die anderen Seiten einen dazu passenden Wert, der von den Winkeln abhängt, den die Seiten miteinander bilden. Die Seitenlängen lassen sich mit dem Lineal abmessen (ja doch, so simpel ist das, keine Computer, keine Atomuhren...) und in einer Tabelle notieren. Ein Dreieck mit demselben Winkelverhältnis, aber einer x-fachen Länge der "Seite=1" (diese wäre x mal 1 = x) hätte also zwei weitere Seiten mit dem x-fachen Wert, der für dieses Winkelverhältnis in der Tabelle notiert worden ist.

Das ist immer noch kompliziert, denn es lassen sich ja unendlich viele Winkel-Seiten-Kombinationen bilden. Deshalb die nächste Vereinfachung:

Jedes Dreieck lässt sich in zwei rechtwinklige Dreiecke zerlegen, die man getrennt berechnen und später u.U. wieder zusammenfügen kann. Bei einem rechtwinkligen Dreieck müssen nur noch zwei unbekannte Winkel, die zusammen 90° ergeben, in Betracht gezogen werden.

Noch besser: Ist der eine Winkel z.B. 30°, ist der andere Winkel 90° - 30° - man braucht also nur noch einen Winkel in Betracht zu ziehen!

Nun hatte ich die wichtigsten Grundgedanken der Trigonometrie wieder zusammen:

Die Trigonometrie beruht in den Grundzügen darauf, dass

• unendlich viele Varianten eines rechtwinkligen Dreiecks, dessen Hypotenuse die Länge "1" hat, gezeichnet
• und zu jedem Winkel, den man dabei zeichnet, die Länge der Katheten festgestellt und in einer Tabelle aufgezeichnet wird.
• Die Länge einer Kathete im Verhältnis zur Hypotenusenlänge "1" ergibt einen Faktor, mit dem man weiterrechnen kann.
  Diese Grundannahmen sind die Basis der trigonometrischen Tabellen.

Um diese Faktoren zu ermitteln, gibt es ein einfaches, zeichnerisches Verfahren, das mir nach und nach ebenfalls wieder einfiel:

• Man zeichnet einen "Einheitskreis" - ein Kreis mit dem Radius 1 - und teilt ihn zunächst einmal waagerecht in zwei Hälften,
• die waagerechte Linie wird als x-Achse eines Koordinatensystems fortgesetzt,
• vom Mittelpunkt des Kreises werden Geraden zum Umkreis gezogen,
• vom Schnittpunkt eines solchen Radius mit dem Kreis wird das Lot auf die Waagerechte gefällt,
• die Länge dieser Linie wird auf der y-Achse in das Koordinatensystem übertragen,
• auf dessen x-Achse in regelmäßigen Abständen Werte für Winkel abgetragen sind.
• Zeichnet man die zusammengehörigen Punkte ein - Winkelwert und Länge der senkrechten Linie -, ergibt sich nach und nach eine Kurve - die "Sinuskurve".

Das schreibt sich komplizierter, als es beim Zeichnen und Betrachten ist.

Im Prinzip entstehen unendlich viele rechtwinklige Dreiecke, die alle eine Hypotenuse mit dem Wert 1 haben. Zu jedem Winkel, den die Hypotenuse mit der Waagerechten bildet, gibt es eine Senkrechte, die den Schnittpunkt der Hypotenuse auf dem Einheitskreis mit der Waagerechten verbindet. Jeder Winkel hat also eine Hypotenuse mit dem Wert 1 und zwei Katheten mit unterschiedlichen Werten. Der Wert der Kathete, die dem Winkel gegenüber liegt - der "Gegenkathete" - lässt sich im Koordinatensystem auf der Kurve ablesen, auch für die Winkel, für die es gar keine Zeichnung gibt. (Die Werte liegen dazwischen auf der Kurve, sie werden interpoliert.) Diesen Wert nennt man den Sinuswert des Winkels.

Wenn die Hypotenuse ein Vielfaches von 1 ist, ist die Gegenkathete dasselbe Vielfache von 1. Deshalb kann man eine Verhältnisformel schreiben:

sin alpha = Gegenkathete / Hypothenue

Diese Werte sind in trignometrischen Tabellen aufgezeichnet. Wenn man den Einheitskreis mit einem Durchmesser von 10 cm anlegt, bekommt man für Berechnungen im Zentimeter-Bereich schon sehr genaue Werte, die man einfach vom Millimeter-Papier bzw. Lineal abliest.

Mit diesem einfachen Konstruktionsprinzip sind aber noch weitere "Tricks" verbunden.

• Wenn man die Zeichnung über die 90°-Marke hinausführt - dort entsteht kein Dreieck, da die "Ankathete", die Kathete, die mit der Hypotenuse den Winkel bildet, den Wert 0 hat - entstehen spiegelbildliche Dreiecke zu denen, die zwischen 0° und 90° gezeichnet wurden. Dadurch lassen sich auch Winkel, die größer als 90° sind, Sinuswerte zuordnen.
• Setzt man dieses Prinzip über die 180°-Grenze hinaus fort, entstehen für die Winkel bis 360° negative Werte im Koordinatensystem.
• Außerdem ist das Verhältnis zwischen Ankathete und Gegenkathete immer fest, genauso, wie die beiden Winkel untrennbar miteinander verbunden sind. Hier findet eine (Dreh-)Spiegelung statt. Die Ankathete eines Winkels hat immer die gleiche Länge wie die Gegenkathete des Winkels, der den Wert 90° minus des Winkels hat. Diese Zahl nennt man den Cosinus des Winkels.

All dies ließ sich von mir beim Zeichnen, Betrachten und Rückerinnern an ein paar Ideen, die aus der Schulzeit hängen geblieben sind, allmählich wieder rekonstruieren. Ich wusste jetzt wieder, was ein "Sinuswert" ist, wo ich ihn finde und was ich damit anfangen kann.

Zurück zu meiner ursprünglichen Zeichnung:

Ich war auf der Suche nach der Länge der Ankathete zu einem Winkel von 30° bei einer vorhandenen Hypotenuse mit der Länge 3,5 cm.

Ankathete bedeutete Cosinus - meine Zeichnung hatte bisher aber nur ein Stück Sinuskurve. Der Cosinuswert für 30° musste aber dem Sinuswert für 90°-30°=60° entsprechen. Dieser ließ sich ablesen, er war 0,855.

cos 30° = a : 3,5 cm

0,855 = a : 3,5 cm

a = 3,5 cm x 0,855

a = 2,99 cm

Die gesuchte Breite für den Spiegel war doppelt so groß, also 2 x a, also 5,98 cm. Und dieses Ergebnis entsprach ziemlich genau dem durch Abmessen ermittelten Wert von "knapp 6 cm".

Der langen Rechnung kurzer Sinn: Wenn ich ein gleichseitiges Kaleidoskop baue, ist die ideale Seitenlänge der Spiegel das 0,85-fache des Durchmessers. Hiervon sind wieder die Toleranzen für die Spiegeldicke abzuziehen, und das Dilemma ist noch immer nicht zuende.

Frage 2: Perspektive und Unendlichkeit

Wäre ich in der Schule nicht schon von den Grundgedanken der Trigonometrie fasziniert gewesen und hätte sie verstanden, hätte ich diese Rekonstruktion sicher nicht innerhalb eines Tages fertig gebracht. Allerdings hatte ich früher auch einen Mathematikunterricht, in dem das eigene Denken und Nacherfinden im Mittelpunkt stand. Trotzdem war der entscheidende Hinweis auf die kongruenten Dreiecke auf der Tagung im Gespräch gekommen.

Mit meiner zweiten Frage hingegen betrat ich Neuland und bin weiterhin auf der Suche nach einer Antwort. Falls jemand mitsuchen möchte, ist hier mein bisheriger Weg.

Ich suchte nach einem zahlenmäßigen Zusammenhang zwischen der Länge der Kaleidoskop-Röhre und der Anzahl der Widerspiegelungen des inneren Dreiecks. Ich hatte, wie schon oben erwähnt, beobachtet, dass mit länger werdender Röhre mehr Spiegelbilder zu sehen sind, diese aber auch sehr klein sind. All das scheint etwas mit der perspektivischen Verjüngung zu tun zu haben. Die Röhre, in die man beim Kaleidoskop blickt, wird nach hinten hin scheinbar enger, was manche Bau-Neulinge schon zu der Vermutung verleitet hat, die Spiegel liefen nach vorne spitz zu. Gleichzeitig weitet sich aber auch das eigene Gesichtsfeld scheinbar aus, was dazu führt, dass von der virtuellen Bildfläche mit dem Spiegelmuster mehr zu sehen ist. Das Interessante daran ist, dass sich der eigene Blickwinkel innerhalb einer engen Röhre ausweitet, die den Blick real begrenzt. Wären dort keine Spiegel, wäre alles schwarz und nur vorne ein heller Fleck am Röhrenende zu sehen.

Ich versuchte mich deshalb zunächst an einer Konstruktion, bei der ich den Blickwinkel außen um die Röhre herum zeichnete, doch war dieses Spiel mit der Virtualität der eigentlichen Bilder und dem in die Realität verlegten Blickwinkel für mich so verwirrend, dass ich es wieder aufgab. Vor allem beobachtete ich hierbei, dass die Bilder innerhalb derselben Röhre nach außen hin kleiner wurden, wohl ebenfalls ein Ergebnis perspektivischer Verkürzung, diesmal zur Seite hin. Vielleicht wäre der Weg aber trotzdem gangbar gewesen?

Als nächstes versuchte ich, meine Aktivitäten in das Innere der Röhre zu verlegen. Ich markierte einen dünnen Stab im Abstand von jeweils 1 cm und wollte nun zu beobachten versuchen, bei welcher Markierung ein neuer Dreieckskreis entstand. Zu meiner Verblüffung zogen sich diese Markierungen in der Perspektive so schnell zusammen, dass sie kaum noch zählbar waren, besonders, wenn ich an ihnen so senkrecht entlang blickte wie an einer Spiegelfläche. Auch hier kam ich nicht weiter.

Bessere Erfolge hatte ich schließlich mit Franks Hilfe. Er baute mir Spiegelröhren gleicher Breite und unterschiedlicher Länge, in die ich hineinsehen und Spiegelungen zählen konnte.

Leider entstanden durch die verwendete Spiegelfolie nur unscharfe Bilder. Trotzdem glaubte ich zu erkennen, dass bei einer Spiegelröhre, die doppelt so lang wie breit war, um das innere reale Dreieck herum zwei Spiegelkreise entstanden, bei einer Verdreifachung der Länge gegenüber der Breite drei Spiegelkreise und bei einer Vervierfachung - auch drei, denn die äußeren waren kaum noch zu sehen, weil das Bild dort dunkel und unscharf war.

Vielleicht lässt sich ja nicht mehr herausfinden.

Zusammen mit den anderen in der Gruppe sinnierte ich zwischendurch immer wieder über das Material, aus dem professionelle Kaleidoskope gebaut sind. Wir waren mit den normalen Spiegelscheiben einfach nicht zufrieden. Das Bild wurde schnell dunkel und unscharf und ergab keineswegs die gleichmäßigen "Blumen" und "Sterne", die wir in unseren teuren Vorbildern sahen. In manchen gekauften Kaleidoskopen hatten wir schon polierte Metallflächen gefunden. Im Grunde musste nicht die Rückseite der Scheibe spiegeln, sondern die Vorderseite... und dies stimmt tatsächlich: Mit dieser Vermutung im Kopf auf der Suche, fand sich die Antwort bei einem professionellen Kaleidoskop-Bauer und dann in der von ihm genannten Literatur. Es gibt Spiegel, die auf der Vorderseite verspiegelt sind (First-Side-Mirrors, Front-Side-Mirrors) und die in teuren Kaleidoskopen verwendet werden. Und wer nun erst recht mit Kaleidoskopen experimentieren und noch viel mehr darüber herausfinden möchte, sei an die "Brewster Society" in den USA verwiesen, die jedes Jahr die neueste Kaleidoskop-Erfindung prämiert und überhaupt aus lauter Kaleidoskop-Verrückten zu bestehen scheint.